Medidas

Medidas para variáveis numéricas: medidas de centro

Ementa do curso

\[\require{color}\definecolor{red}{rgb}{.784, .247, .361}\] \[\require{color}\definecolor{blue}{rgb}{.24, .51, .60}\] \[\require{color}\definecolor{green}{rgb}{49, 82.7, 40.4}\] \[\require{color}\definecolor{gray}{rgb}{0.662745098039216, 0.662745098039216, 0.662745098039216}\]

Parte 1 - Metodologia

  1. Operacionalização de conceitos
  2. Definição de escopo

Parte 2 - Técnicas

  1. Tipos de variáveis
  2. Medidas de variáveis categóricas: Tabelas de frequência
  3. Medidas de variáveis numéricas I: Medidas de centro
    1. Média
    2. Mediana
    3. Moda
  4. Medidas de variáveis numéricas II: Medidas de dispersão
    1. Desvio médio
    2. Variância
    3. Desvio padrão
    4. Amplitude
    5. IQR

Ementa do curso

Parte 1 - Metodologia

  1. Operacionalização de conceitos
  2. Definição de escopo

Parte 2 - Técnicas

  1. Tipos de variáveis
  2. Medidas de variáveis categóricas: Tabelas de frequência
  3. Medidas de variáveis numéricas I: Medidas de centro
    1. Média
    2. Mediana
    3. Moda
  4. Medidas de variáveis numéricas II: Medidas de dispersão
    1. Desvio médio
    2. Variância
    3. Desvio padrão
    4. Amplitude
    5. IQR

Medidas de centro

Média

\[\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=i}^{n} x_{i}\]

Média

\[\green{\frac{1}{n}} \red{\sum_{i=i}^{n} x_{i}}\]

Média - Somatório

\[\red{\sum_{i=i}^{n} x_{i}}\]

Esse símbolo é a letra grega sigma (maiúscula), que na matemática usamos para representar somatórios. O somatório é uma notação que resume uma série de adições em sequência.

A seguir, temos um exemplo mais simples de interpretar:

\[4+8+12+16+20=\] \[4*1+4*2+4*3+4*4+4*5=\] \[\sum_\green{{k=1}}^\green{5} \green{4k}\]

Podemos quebrar a notação do sigma em três partes: a expressão (4k), o limite inferior (k=1) e o limite superior (5).

Média - Somatório

\[\sum_\green{{k=1}}^\green{5} \green{4k}\]

Média - Somatório

\[\sum_\gray{{k=1}}^\gray{5} \green{4k}\]

A primeira parte da notação do somatório é a expressão que será somada. Neste caso em específico, a expressão que será somada é uma operação: \(4k\), ou seja, 4 vezes k.

Média - Somatório

\[\sum_\green{{k=1}}^\gray{5} \gray{4k}\]

A primeira parte da notação do somatório é a expressão que será somada. Neste caso em específico, a expressão que será somada é uma operação: \(4k\), ou seja, 4 vezes k.

A segunda parte da notação é o limite inferior da soma, isto é, o termo inicial que será somado. No caso, o primeiro valor a ser somado é o valor que a expressão assume quando \(k=1\). Se a expressão é \(4k\), então, quando \(k=1\), a expressão é igual a 4.

Média - Somatório

\[\sum_\gray{{k=1}}^\green{5} \gray{4k}\]

A primeira parte da notação do somatório é a expressão que será somada. Neste caso em específico, a expressão que será somada é uma operação: \(4k\), ou seja, 4 vezes k.

A segunda parte da notação é o limite inferior da soma, isto é, o termo inicial que será somado. No caso, o primeiro valor a ser somado é o valor que a expressão assume quando \(k=1\). Se a expressão é \(4k\), então, quando \(k=1\), a expressão é igual a 4.

A última parte da notação é o limite superior da soma, isto é, o termo final que será somado. No caso, o último valor a ser somado é o valor que a expressão assume quando \(k=5\). Se a expressão é \(4k\), então, quando \(k=5\), a expressão é igual a 20.

Média - Somatório

\[\sum_\green{{k=1}}^\green{5} \green{4k}\]

A primeira parte da notação do somatório é a expressão que será somada. Neste caso em específico, a expressão que será somada é uma operação: \(4k\), ou seja, 4 vezes k.

A segunda parte da notação é o limite inferior da soma, isto é, o termo inicial que será somado. No caso, o primeiro valor a ser somado é o valor que a expressão assume quando \(k=1\). Se a expressão é \(4k\), então, quando \(k=1\), a expressão é igual a 4.

A última parte da notação é o limite superior da soma, isto é, o termo final que será somado. No caso, o último valor a ser somado é o valor que a expressão assume quando \(k=5\). Se a expressão é \(4k\), então, quando \(k=5\), a expressão é igual a 20.

Ou seja, serão somados todos os termos de \(k=1\) até \(k=5\), fazendo \(4x1 + 4x2 + 4x3 + 4x4 + 4x5\)

Média - Índice

\[\sum_{{k=1}}^{5} \green{4k}\]

Na fórmula da média, há uma diferença importante: no lugar do k, temos o \(x_i\). Acontece que o i não é um número exatamente como funcionava com o k, ele é apenas um índice. Precisamos, então, verificar o que é \(x_i\) .

\[\sum_{i=1}^{n} \green{x_{i}}\]

Média - Índice

\[\sum_{i=1}^{10} \green{x_{i}}\]

Índice Descrição Valor de avaliação inicial
\(x_1\) bem 1 0
\(x_2\) bem 2 70
\(x_3\) bem 3 30
\(x_4\) bem 4 5000
\(x_5\) bem 5 0
\(x_6\) bem 6 4300
\(x_7\) bem 7 378
\(x_8\) bem 8 10000
\(x_9\) bem 9 0
\(x_{10}\) bem 10 250

Quando o termo inicial (i) é 1, então a expressão a ser somada não é 1, mas é \(x_1\), o que, neste caso, significa R$ 0

Média

\[\sum_{i=i}^{n} x_{i}\]

Com isso, vimos todos os elementos do somatório que fazem parte da fórmula da média. Temos a expressão a ser somada (\(x_i\)), o termo inicial (\(i=1\)) e o termo final (\(n\)).

Importa dizer que, no caso da média, o índice final (\(n\)) será sempre o número total de observações. Assim, o índice final será sempre \(i=n\), referindo-se sempre ao último número da sequência, \(x_n\). Se, por exemplo, existirem 10 observações a serem somadas, então \(n=10\) e o último termo a ser somado será \(x_{10}\).

O que falta agora para completar a fórmula da média é a divisão, pois, lembrando, a média é constituída pelo somatório e a divisão pelo número total de elementos que foram contados no somatório.

Média

\[\frac{1}{n} \sum_{i=i}^{n} x_{i}\]

Com isso, vimos todos os elementos do somatório que fazem parte da fórmula da média. Temos a expressão a ser somada (\(x_i\)), o termo inicial (\(i=1\)) e o termo final (\(n\)).

Importa dizer que, no caso da média, o índice final (\(n\)) será sempre o número total de observações. Assim, o índice final será sempre \(i=n\), referindo-se sempre ao último número da sequência, \(x_n\). Se, por exemplo, existirem 10 observações a serem somadas, então \(n=10\) e o último termo a ser somado será \(x_{10}\).

O que falta agora para completar a fórmula da média é a divisão, pois, lembrando, a média é constituída pelo somatório e a divisão pelo número total de elementos que foram contados no somatório.

Média

\[\frac{1}{\green{n}} \sum_{i=i}^{\green{n}} x_{i}\]

Com isso, vimos todos os elementos do somatório que fazem parte da fórmula da média. Temos a expressão a ser somada (\(x_i\)), o termo inicial (\(i=1\)) e o termo final (\(n\)).

Importa dizer que, no caso da média, o índice final (\(n\)) será sempre o número total de observações. Assim, o índice final será sempre \(i=n\), referindo-se sempre ao último número da sequência, \(x_n\). Se, por exemplo, existirem 10 observações a serem somadas, então \(n=10\) e o último termo a ser somado será \(x_{10}\).

O que falta agora para completar a fórmula da média é a divisão, pois, lembrando, a média é constituída pelo somatório e a divisão pelo número total de elementos que foram contados no somatório. Perceba que o índice final (n) é o mesmo \(n\) da divisão!

Média

\[\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=i}^{n} x_{i}\]

Mediana

Conceito

Para encontrar a mediana, é preciso ordenar os números de forma crescente (do menor para o maior). A partir disso, podemos pensar na mediana. A mediana é exatamente o valor que está no meio.

3 17 81 502 900

Se a quantidade total de números for ímpar, então o “meio” será exatamente o número que divide os dados em dois grupos de tamanhos iguais. Se a quantidade total de números for par, então o “meio” será a média dos dois números centrais, de forma que esta média divida os dados em dois grupos de tamanhos iguais.

5 72 80 100 203 399

Mediana

Fórmula matemática

\[md\left(x\right) =\begin{cases} {x_\frac{n+1}{2}} & n\text{ ímpar}\\ \frac {1}{2}\left(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}\right) & n \text{ par} \end{cases}\]

Média x Mediana

Agora precisamos comparar a média com a mediana. Para isso, calcule agora a média e a mediana dos seguintes conjuntos.

Conjunto 1: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

Conjunto 2: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 2000

Respostas

Conjunto 1:

  • Média: 15
  • Mediana: 15

Conjunto 2:

  • Média 195
  • Mediana: 15

O que podemos concluir sobre essas respostas?

Dizemos que a mediana é mais robusta do que a média, porque ela não é afetada por “valores extremos”.

Moda

Conceito

A moda diz respeito simplesmente ao valor (ou aos valores) mais frequentes de um determinado conjunto de números. Para encontrar a moda, basta fazer a contagem dos casos e escolher aquele(s) de maior frequência.

1, 1, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9

Moda: 1

1, 13, 2, 2, 6, 41, 7, 16, 6, 17, 10, 19, 8

Moda: 2 e 6

1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7

Moda: Não existe

1, 13, 26, 1, 18, 23, 13, 2, 9, 18

Moda: 1, 13, 18