Medidas

Média

\[\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=i}^{n} x_{i}\]

Média

\[\green{\frac{1}{n}} \red{\sum_{i=i}^{n} x_{i}}\]

Média - Somatório

\[\red{\sum_{i=i}^{n} x_{i}}\]

Esse símbolo é a letra grega sigma (maiúscula), que na matemática usamos para representar somatórios. O somatório é uma notação que resume uma série de adições em sequência.

A seguir, temos um exemplo mais simples de interpretar:

\[4+8+12+16+20=\] \[4*1+4*2+4*3+4*4+4*5=\] \[\sum_\green{{k=1}}^\green{5} \green{4k}\]

Podemos quebrar a notação do sigma em três partes: a expressão (4k), o limite inferior (k=1) e o limite superior (5).

Média - Somatório

\[\sum_\green{{k=1}}^\green{5} \green{4k}\]

Média - Somatório

\[\sum_\gray{{k=1}}^\gray{5} \green{4k}\]

A primeira parte da notação do somatório é a expressão que será somada. Neste caso em específico, a expressão que será somada é uma operação: $4k$, ou seja, 4 vezes k.

Média - Somatório

\[\sum_\green{{k=1}}^\gray{5} \gray{4k}\]

A primeira parte da notação do somatório é a expressão que será somada. Neste caso em específico, a expressão que será somada é uma operação: $4k$, ou seja, 4 vezes k.

A segunda parte da notação é o limite inferior da soma, isto é, o termo inicial que será somado. No caso, o primeiro valor a ser somado é o valor que a expressão assume quando $k=1$. Se a expressão é $4k$, então, quando $k=1$, a expressão é igual a 4.

Média - Somatório

\[\sum_\gray{{k=1}}^\green{5} \gray{4k}\]

A primeira parte da notação do somatório é a expressão que será somada. Neste caso em específico, a expressão que será somada é uma operação: $4k$, ou seja, 4 vezes k.

A segunda parte da notação é o limite inferior da soma, isto é, o termo inicial que será somado. No caso, o primeiro valor a ser somado é o valor que a expressão assume quando $k=1$. Se a expressão é $4k$, então, quando $k=1$, a expressão é igual a 4.

A última parte da notação é o limite superior da soma, isto é, o termo final que será somado. No caso, o último valor a ser somado é o valor que a expressão assume quando $k=5$. Se a expressão é $4k$, então, quando $k=5$, a expressão é igual a 20.

Média - Somatório

\[\sum_\green{{k=1}}^\green{5} \green{4k}\]

A primeira parte da notação do somatório é a expressão que será somada. Neste caso em específico, a expressão que será somada é uma operação: $4k$, ou seja, 4 vezes k.

A segunda parte da notação é o limite inferior da soma, isto é, o termo inicial que será somado. No caso, o primeiro valor a ser somado é o valor que a expressão assume quando $k=1$. Se a expressão é $4k$, então, quando $k=1$, a expressão é igual a 4.

A última parte da notação é o limite superior da soma, isto é, o termo final que será somado. No caso, o último valor a ser somado é o valor que a expressão assume quando $k=5$. Se a expressão é $4k$, então, quando $k=5$, a expressão é igual a 20.

Ou seja, serão somados todos os termos de $k=1$ até $k=5$, fazendo $4x1 + 4x2 + 4x3 + 4x4 + 4x5$

Média - Índice

\[\sum_{{k=1}}^{5} \green{4k}\]

Na fórmula da média, há uma diferença importante: no lugar do k, temos o $x_i$. Acontece que o i não é um número exatamente como funcionava com o k, ele é apenas um índice. Precisamos, então, verificar o que é $x_i$ .

\[\sum_{i=1}^{n} \green{x_{i}}\]

Média - Índice

\[\sum_{i=1}^{10} \green{x_{i}}\]

Índice	Descrição	Valor de avaliação inicial
$x_1$	bem 1	0
$x_2$	bem 2	70
$x_3$	bem 3	30
$x_4$	bem 4	5000
$x_5$	bem 5	0
$x_6$	bem 6	4300
$x_7$	bem 7	378
$x_8$	bem 8	10000
$x_9$	bem 9	0
$x_{10}$	bem 10	250

Quando o termo inicial (i) é 1, então a expressão a ser somada não é 1, mas é $x_1$, o que, neste caso, significa R$ 0

Média

\[\sum_{i=i}^{n} x_{i}\]

Com isso, vimos todos os elementos do somatório que fazem parte da fórmula da média. Temos a expressão a ser somada ($x_i$), o termo inicial ($i=1$) e o termo final ($n$).

Importa dizer que, no caso da média, o índice final ($n$) será sempre o número total de observações. Assim, o índice final será sempre $i=n$, referindo-se sempre ao último número da sequência, $x_n$. Se, por exemplo, existirem 10 observações a serem somadas, então $n=10$ e o último termo a ser somado será $x_{10}$.

O que falta agora para completar a fórmula da média é a divisão, pois, lembrando, a média é constituída pelo somatório e a divisão pelo número total de elementos que foram contados no somatório.

Média

\[\frac{1}{n} \sum_{i=i}^{n} x_{i}\]

Com isso, vimos todos os elementos do somatório que fazem parte da fórmula da média. Temos a expressão a ser somada ($x_i$), o termo inicial ($i=1$) e o termo final ($n$).

Importa dizer que, no caso da média, o índice final ($n$) será sempre o número total de observações. Assim, o índice final será sempre $i=n$, referindo-se sempre ao último número da sequência, $x_n$. Se, por exemplo, existirem 10 observações a serem somadas, então $n=10$ e o último termo a ser somado será $x_{10}$.

O que falta agora para completar a fórmula da média é a divisão, pois, lembrando, a média é constituída pelo somatório e a divisão pelo número total de elementos que foram contados no somatório.

Média

\[\frac{1}{\green{n}} \sum_{i=i}^{\green{n}} x_{i}\]

Com isso, vimos todos os elementos do somatório que fazem parte da fórmula da média. Temos a expressão a ser somada ($x_i$), o termo inicial ($i=1$) e o termo final ($n$).

Importa dizer que, no caso da média, o índice final ($n$) será sempre o número total de observações. Assim, o índice final será sempre $i=n$, referindo-se sempre ao último número da sequência, $x_n$. Se, por exemplo, existirem 10 observações a serem somadas, então $n=10$ e o último termo a ser somado será $x_{10}$.

O que falta agora para completar a fórmula da média é a divisão, pois, lembrando, a média é constituída pelo somatório e a divisão pelo número total de elementos que foram contados no somatório. Perceba que o índice final (n) é o mesmo $n$ da divisão!

Média

\[\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=i}^{n} x_{i}\]

Mediana

Conceito

Para encontrar a mediana, é preciso ordenar os números de forma crescente (do menor para o maior). A partir disso, podemos pensar na mediana. A mediana é exatamente o valor que está no meio.

3 17 81 502 900

Se a quantidade total de números for ímpar, então o “meio” será exatamente o número que divide os dados em dois grupos de tamanhos iguais. Se a quantidade total de números for par, então o “meio” será a média dos dois números centrais, de forma que esta média divida os dados em dois grupos de tamanhos iguais.

5 72 80 100 203 399

Mediana

Fórmula matemática

\[md\left(x\right) =\begin{cases} {x_\frac{n+1}{2}} & n\text{ ímpar}\\ \frac {1}{2}\left(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}\right) & n \text{ par} \end{cases}\]

Média x Mediana

Agora precisamos comparar a média com a mediana. Para isso, calcule agora a média e a mediana dos seguintes conjuntos.

Conjunto 1: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

Conjunto 2: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 2000

Respostas

Conjunto 1:

Média: 15
Mediana: 15

Conjunto 2:

Média 195
Mediana: 15

O que podemos concluir sobre essas respostas?

Dizemos que a mediana é mais robusta do que a média, porque ela não é afetada por “valores extremos”.

Moda

Conceito

A moda diz respeito simplesmente ao valor (ou aos valores) mais frequentes de um determinado conjunto de números. Para encontrar a moda, basta fazer a contagem dos casos e escolher aquele(s) de maior frequência.

1, 1, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9

Moda: 1

1, 13, 2, 2, 6, 41, 7, 16, 6, 17, 10, 19, 8

Moda: 2 e 6

1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7

Moda: Não existe

1, 13, 26, 1, 18, 23, 13, 2, 9, 18

Moda: 1, 13, 18

Medidas

Ementa do curso

Parte 1 - Metodologia

Parte 2 - Técnicas

Ementa do curso

Parte 1 - Metodologia

Parte 2 - Técnicas

Medidas de centro

Média

Média

Média - Somatório

Média - Somatório

Média - Somatório

Média - Somatório

Média - Somatório

Média - Somatório

Média - Índice

Média - Índice

Média

Média

Média

Média

Mediana

Conceito

Mediana

Fórmula matemática

Média x Mediana

Respostas

O que podemos concluir sobre essas respostas?

Moda

Conceito

Índice	Descrição	Valor de avaliação inicial
\(x_1\)	bem 1	0
\(x_2\)	bem 2	70
\(x_3\)	bem 3	30
\(x_4\)	bem 4	5000
\(x_5\)	bem 5	0
\(x_6\)	bem 6	4300
\(x_7\)	bem 7	378
\(x_8\)	bem 8	10000
\(x_9\)	bem 9	0
\(x_{10}\)	bem 10	250