Medidas

Medidas para variáveis numéricas: medidas de dispersão I

Ementa do curso

Parte 1 - Metodologia

1. Operacionalização de conceitos
2. Definição de escopo

Parte 2 - Técnicas

1. Tipos de variáveis
2. Medidas de variáveis categóricas: Tabelas de frequência
3. Medidas de variáveis numéricas I: Medidas de centro
   1. Média
   2. Mediana
   3. Moda
4. Medidas de variáveis numéricas II: Medidas de dispersão
   1. Desvio médio
   2. Variância
   3. Desvio padrão
   4. Amplitude
   5. IQR

Ementa do curso

Parte 1 - Metodologia

1. Operacionalização de conceitos
2. Definição de escopo

Parte 2 - Técnicas

1. Tipos de variáveis
2. Medidas de variáveis categóricas: Tabelas de frequência
3. Medidas de variáveis numéricas I: Medidas de centro
   1. Média
   2. Mediana
   3. Moda
4. Medidas de variáveis numéricas II: Medidas de dispersão
   1. Desvio médio
   2. Variância
   3. Desvio padrão
   4. Amplitude
   5. IQR

Medidas de dispersão

Plano de aula

Na aula de hoje, teremos dois objetivos:

1. Compreender o que são medidas de dispersão em geral
2. Aprender como se calculam as medidas de dispersão relacionadas ao “desvio”

Por que falar em medidas de dispersão?

Qual a média e a mediana dos grupos abaixo?

Grupo A: 3 4 5 6 7

Grupo B: 1 3 5 7 9

Grupo C: 5 5 5 5 5

Grupo D: 3 5 5 7

A média e a mediana dos grupos é a mesma: 5 \[\bar{x}=5\]

\[md(x)=5\]

Então como podemos diferenciar esses grupos entre si?

Usando medidas de dispersão

Tipologia das medidas de dispersão

1. Medidas de dispersão em torno da média (desvios)
   1. Desvio médio
   2. Variância e desvio padrão
2. Amplitude
3. IQR

Medidas de dispersão em torno da média

Desvio

O conceito central para compreendermos as medidas de dispersão é o “desvio”. O desvio deve ser pensado sempre em relação à média. A média é uma única medida que resume todas as observações, já o desvio é uma informação que existe para cada observação.

Para calcular o desvio basta simplesmente subtrair o valor da observação com a média do conjunto de observações.

\[desvio = x_i - \bar{x}\]

Medidas de dispersão em torno da média

No exemplo abaixo, quais são os desvios das observações?

Índice	Valor
\(x_1\)	3
\(x_2\)	4
\(x_3\)	5
\(x_4\)	6
\(x_5\)	7

Medidas de dispersão em torno da média

No exemplo abaixo, quais são os desvios das observações?

Índice	Valor	Desvio
\(x_1\)	3	-2
\(x_2\)	4	-1
\(x_3\)	5	0
\(x_4\)	6	1
\(x_5\)	7	2

A partir dos desvios, a gente quer calcular uma única medida para resumir todo o padrão de desvios da distribuição. Então a gente quer transformar essa medida individual de cada observação (o desvio) para uma informação de conjunto.

Como fazer isso?

Medidas de dispersão em torno da média

Solução 1: Tirar a média dos desvios!

\[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)\]

Mas isso tem um problema: A média dos desvios é sempre zero!

\[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \bar x = \bar x - \frac{n}{n}\bar x = \bar x - \bar x = 0\]

O problema são os números negativos dos desvios. A gente precisa eliminá-los. Para isso temos outras duas soluções:

Medidas de dispersão em torno da média

Solução 2: Tirar a média do módulo dos desvios

\[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|x_i-\bar x|\]

Solução 3: Tirar a média dos desvios ao quadrado

\[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2\]

Medidas de dispersão em torno da média

Solução 2: Tirar a média do módulo dos desvios

\[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|x_i-\bar x|\]

Isso é chamado de desvio médio

Solução 3: Tirar a média dos desvios ao quadrado

\[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2\]

Isso é chamado de variância

Medidas de dispersão em torno da média

Variância e desvio padrão

Por mais natural que seja usar o módulo dos desvio, essa operação gera complicações de cálculo depois. Então, por essa razão, costumamos utilizar a variância.

\[var(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2\]

Medidas de dispersão em torno da média

Variância e desvio padrão

Entretanto, a variância, por ter números elevados ao quadrado, precisa ser “corrigida” de alguma forma para se tornar uma medida interpretável. Assim, a medida que usamos no lugar da variância é simplesmente a sua raiz quadrada. É o chamado desvio padrão, que é definido pela seguinte fórmula:

\[dp(x) = \sqrt{var}\]

\[dp(x) = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}\]

Medidas de dispersão em torno da média

Média dos desvios

\[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)\]

Variância \[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2\]

Desvio médio

\[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n|x_i-\bar x|\]

Desvio padrão

\[\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}\]