| Índice | Descrição | Valor de avaliação inicial |
|---|---|---|
| \(x_1\) | bem 1 | 0 |
| \(x_2\) | bem 2 | 70 |
| \(x_3\) | bem 3 | 30 |
| \(x_4\) | bem 4 | 5000 |
| \(x_5\) | bem 5 | 0 |
| \(x_6\) | bem 6 | 4300 |
| \(x_7\) | bem 7 | 378 |
| \(x_8\) | bem 8 | 10000 |
| \(x_9\) | bem 9 | 0 |
| \(x_{10}\) | bem 10 | 250 |
Medidas
Medidas para variáveis numéricas: medidas de centro
Estrutura do curso
- Média
- Mediana
- Moda
\[\require{color}\definecolor{red}{rgb}{.784, .247, .361}\] \[\require{color}\definecolor{blue}{rgb}{.24, .51, .60}\] \[\require{color}\definecolor{green}{rgb}{49, 82.7, 40.4}\] \[\require{color}\definecolor{gray}{rgb}{0.662745098039216, 0.662745098039216, 0.662745098039216}\]
Média
Fórmula
\[\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=i}^{n} x_{i}\]
Fórmula
\[\green{\frac{1}{n}} \red{\sum_{i=i}^{n} x_{i}}\]
Somatório
\[\red{\sum_{i=i}^{n} x_{i}}\]
Esse símbolo é a letra grega sigma (maiúscula), que na matemática usamos para representar somatórios. O somatório é uma notação que resume uma série de adições em sequência.
A seguir, temos um exemplo mais simples de interpretar:
\[4+8+12+16+20=\] \[4*1+4*2+4*3+4*4+4*5=\] \[\sum_\green{{k=1}}^\green{5} \green{4k}\]
Podemos quebrar a notação do sigma em três partes: a expressão (4k), o limite inferior (k=1) e o limite superior (5).
Somatório
\[\sum_\green{{k=1}}^\green{5} \green{4k}\]
Somatório
\[\sum_\gray{{k=1}}^\gray{5} \green{4k}\]
A primeira parte da notação do somatório é a expressão que será somada. Neste caso em específico, a expressão que será somada é uma operação: \(4k\), ou seja, 4 vezes k.
Somatório
\[\sum_\green{{k=1}}^\gray{5} \gray{4k}\]
A primeira parte da notação do somatório é a expressão que será somada. Neste caso em específico, a expressão que será somada é uma operação: \(4k\), ou seja, 4 vezes k.
A segunda parte da notação é o limite inferior da soma, isto é, o termo inicial que será somado. No caso, o primeiro valor a ser somado é o valor que a expressão assume quando \(k=1\). Se a expressão é \(4k\), então, quando \(k=1\), a expressão é igual a 4.
Somatório
\[\sum_\gray{{k=1}}^\green{5} \gray{4k}\]
A primeira parte da notação do somatório é a expressão que será somada. Neste caso em específico, a expressão que será somada é uma operação: \(4k\), ou seja, 4 vezes k.
A segunda parte da notação é o limite inferior da soma, isto é, o termo inicial que será somado. No caso, o primeiro valor a ser somado é o valor que a expressão assume quando \(k=1\). Se a expressão é \(4k\), então, quando \(k=1\), a expressão é igual a 4.
A última parte da notação é o limite superior da soma, isto é, o termo final que será somado. No caso, o último valor a ser somado é o valor que a expressão assume quando \(k=5\). Se a expressão é \(4k\), então, quando \(k=5\), a expressão é igual a 20.
Somatório
\[\sum_\green{{k=1}}^\green{5} \green{4k}\]
A primeira parte da notação do somatório é a expressão que será somada. Neste caso em específico, a expressão que será somada é uma operação: \(4k\), ou seja, 4 vezes k.
A segunda parte da notação é o limite inferior da soma, isto é, o termo inicial que será somado. No caso, o primeiro valor a ser somado é o valor que a expressão assume quando \(k=1\). Se a expressão é \(4k\), então, quando \(k=1\), a expressão é igual a 4.
A última parte da notação é o limite superior da soma, isto é, o termo final que será somado. No caso, o último valor a ser somado é o valor que a expressão assume quando \(k=5\). Se a expressão é \(4k\), então, quando \(k=5\), a expressão é igual a 20.
Ou seja, serão somados todos os termos de \(k=1\) até \(k=5\), fazendo \(4x1 + 4x2 + 4x3 + 4x4 + 4x5\)
Índice
\[\sum_{{k=1}}^{5} \green{4k}\]
Na fórmula da média, há uma diferença importante: no lugar do k, temos o \(x_i\). Acontece que o i não é um número exatamente como funcionava com o k, ele é apenas um índice. Precisamos, então, verificar o que é \(x_i\) .
\[\sum_{i=1}^{n} \green{x_{i}}\]
Índice
\[\sum_{i=1}^{10} \green{x_{i}}\]
Quando o termo inicial (i) é 1, então a expressão a ser somada não é 1, mas é \(x_1\), o que, neste caso, significa R$ 0
Conclusões
\[\sum_{i=i}^{n} x_{i}\]
Com isso, vimos todos os elementos do somatório que fazem parte da fórmula da média. Temos a expressão a ser somada (\(x_i\)), o termo inicial (\(i=1\)) e o termo final (\(n\)).
Importa dizer que, no caso da média, o índice final (\(n\)) será sempre o número total de observações. Assim, o índice final será sempre \(i=n\), referindo-se sempre ao último número da sequência, \(x_n\). Se, por exemplo, existirem 10 observações a serem somadas, então \(n=10\) e o último termo a ser somado será \(x_{10}\).
O que falta agora para completar a fórmula da média é a divisão, pois, lembrando, a média é constituída pelo somatório e a divisão pelo número total de elementos que foram contados no somatório.
Conclusões
\[\frac{1}{n} \sum_{i=i}^{n} x_{i}\]
Com isso, vimos todos os elementos do somatório que fazem parte da fórmula da média. Temos a expressão a ser somada (\(x_i\)), o termo inicial (\(i=1\)) e o termo final (\(n\)).
Importa dizer que, no caso da média, o índice final (\(n\)) será sempre o número total de observações. Assim, o índice final será sempre \(i=n\), referindo-se sempre ao último número da sequência, \(x_n\). Se, por exemplo, existirem 10 observações a serem somadas, então \(n=10\) e o último termo a ser somado será \(x_{10}\).
O que falta agora para completar a fórmula da média é a divisão, pois, lembrando, a média é constituída pelo somatório e a divisão pelo número total de elementos que foram contados no somatório.
Conclusão
\[\frac{1}{\green{n}} \sum_{i=i}^{\green{n}} x_{i}\]
Com isso, vimos todos os elementos do somatório que fazem parte da fórmula da média. Temos a expressão a ser somada (\(x_i\)), o termo inicial (\(i=1\)) e o termo final (\(n\)).
Importa dizer que, no caso da média, o índice final (\(n\)) será sempre o número total de observações. Assim, o índice final será sempre \(i=n\), referindo-se sempre ao último número da sequência, \(x_n\). Se, por exemplo, existirem 10 observações a serem somadas, então \(n=10\) e o último termo a ser somado será \(x_{10}\).
O que falta agora para completar a fórmula da média é a divisão, pois, lembrando, a média é constituída pelo somatório e a divisão pelo número total de elementos que foram contados no somatório. Perceba que o índice final (n) é o mesmo \(n\) da divisão!
Fórmula
\[\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=i}^{n} x_{i}\]
Mediana
Conceito
Para encontrar a mediana, é preciso ordenar os números de forma crescente (do menor para o maior). A partir disso, podemos pensar na mediana. A mediana é exatamente o valor que está no meio.
3 17 81 502 900
Se a quantidade total de números for ímpar, então o “meio” será exatamente o número que divide os dados em dois grupos de tamanhos iguais. Se a quantidade total de números for par, então o “meio” será a média dos dois números centrais, de forma que esta média divida os dados em dois grupos de tamanhos iguais.
5 72 80 100 203 399
Fórmula matemática
\[md\left(x\right) =\begin{cases} {x_\frac{n+1}{2}} & n\text{ ímpar}\\ \frac {1}{2}\left(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}\right) & n \text{ par} \end{cases}\]
Média x Mediana
Agora precisamos comparar a média com a mediana. Para isso, calcule agora a média e a mediana dos seguintes conjuntos.
Conjunto 1: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Conjunto 2: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 2000
Respostas
Conjunto 1:
- Média: 15
- Mediana: 15
Conjunto 2:
- Média 195
- Mediana: 15
O que podemos concluir sobre essas respostas?
Dizemos que a mediana é mais robusta do que a média, porque ela não é afetada por “valores extremos”.
Moda
Conceito
A moda diz respeito simplesmente ao valor (ou aos valores) mais frequentes de um determinado conjunto de números. Para encontrar a moda, basta fazer a contagem dos casos e escolher aquele(s) de maior frequência.
1, 1, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9
Moda: 1
1, 13, 2, 2, 6, 41, 7, 16, 6, 17, 10, 19, 8
Moda: 2 e 6
1, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7
Moda: Não existe
1, 13, 26, 1, 18, 23, 13, 2, 9, 18
Moda: 1, 13, 18
Introdução à Pesquisa Jurimétrica.