Medidas

Medidas para variáveis numéricas: medidas de dispersão II

Estrutura da aula

Na aula de hoje, teremos dois objetivos:

1. Compreender o que é a amplitude, como calculá-la e para que utilizá-la
2. Aprender o que são e para que servem os quantis empíricos e o IQR

Amplitude

Conceitos gerais

Definição

A amplitude indica, basicamente, o espectro dentro do qual as observações variam. Para calculá-la basta identificar o valor máximo do conjunto, bem como o seu valor mínimo. A diferença entre os dois números é a amplitude.

\[A = max - min\]

Problemas

A amplitude é uma medida simples de ser calculada, entretanto, é importante saber que ela tem um problema potencial que é a sua alta suscetibilidade a valores extremos, ou seja, ela é pouco robusta, assim como a média.

IQR

Início da conceituação

A última medida de dispersão que temos é a amplitude inter-quartil (que vem do inglês interquartile range, de onde originou a sigla IQR). Para compreendermos o IQR, devemos compreender o que é um quantil empírico.

Quantis empíricos

Os quantis empíricos são medidas de posição (e não medidas de dispersão).

Eles são valores que dividem um conjunto de dados em uma determinada proporção.

Já vimos um exemplo de um quantil empírico anteriormente: a mediana. A mediana é o quantil de 50%, pois ela divide os dados em uma proporção de 50%. Podemos pensar em muitos outros quantis empíricos, tais como o quantil de 10%, que divide os dados em 10% e 90%.

Dos vários quantis empíricos que existem, há um grupo especial de quantis, que são os quartis.

Quantis empíricos

Quartis

Existem três quantis empíricos que, juntos, formam um subconjunto especial dos quantis, que são os quartis. Os três quartis empíricos dividem os dados em 4 grupos de igual tamanho. São eles:

• o quantil de 25%, também chamado de quartil inferior
• o quantil de 50%, também chamado de mediana
• o quantil de 75%, também chamado de quartil superior

Esses três quartis dividem os dados em quatro conjuntos:

• Conjunto 1: \([q(0,00), q(0,25)]\)
• Conjunto 2: \([q(0,25), q(0,50)]\)

• Conjunto 3: \([q(0,50), q(0,75)]\)
• Conjunto 4: \([q(0,75), q(1,00)]\)

Voltando ao IQR…

Com os quantis empíricos, podemo pensar o que seria o IQR. O IQR é simplesmente a amplitude entre os quartis inferior e superior, isto é, \(q(0,75)−q(0,25)\).

Podemos comparar o IQR com a Amplitude, pois podemos definir a Amplitude como \(q(1,00)−q(0,00)\). A diferença do IQR para a amplitude então seria que o IQR é uma medida robusta, enquanto a amplitude é uma medida extremamente suscetível aos extremos. Isso acontece porque, justamente, o IQR exclui do seu cálculo os 25% iniciais e finais.